max-hammer.de Interaktive Materialien für die Didaktik der Algebra
Ergänzungen zur Homepage www.schulalgebra.de der Bayerischen Julius-Maximilians-Universität Würzburg
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JgSt. 9
JgSt. 10
JgSt. 11 / 12
gebrochen-rationale Funktionen
Einführung in die Differentialrechnung
natürliche Exponential- und Logarithmusfunktionen
Extremwertprobleme
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Jahrgangsstufe 11 / 12
In der Oberstufe befassen sich die Schüler mit komplexen mathematischen Problemen, bei denen immer mehr der Bezug zu realen Aufgabenstellungen in den Vordergrund tritt.
Vor allem die Funktionen, bisher bekannte und auch neue Arten, werden eingehend auf Grenzwerte, Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit untersucht. Durch diese neuen Verfahren und Techniken lassen sich Anwendungsaufgaben vielschichtiger Art lösen. Auch auf die Darstellung solcher funktionaler Zusammenhänge wird besonders Wert gelegt und der Einsatz von computergestützten Hilfsmitteln nicht mehr nur empfohlen sondern sogar gefordert, nicht nur auf Basis des GTR, der schon seit der Mittelstufe Einzug in die Klassenzimmer gehalten hat und den Jugendlichen vertraut sein sollte.
Zunächst steht das Änderungsverhalten von Funktionen im Vordergrund. Im Zuge dessen werden die in Jahrgangsstufe 8 angeschnittenen gebrochen-rationalen Funktionen gründlicher untersucht, der Begriff der Asymptote erarbeitet und die Infinitesimalrechnung ausgebaut. Über das lokale Differenzieren mit Differenzen- und Differentialquotient gelangen die Schüler zur Differenzierbarkeit von Funktionen und schließlich, bei deren globaler Betrachtung, auch zur Ableitungs- und Stammfunktion mit den damit verbundenen Ableitungsregeln. Außerdem werden durch die Anwendung der ersten Ableitung Begriffe wie die Änderungsrate, die Monotonie, die bisher durch verbale Beschreibungen von Graphen thematisiert wurde, und der Extrempunkt auf ein entsprechendes mathematisches Niveau gebracht. Außerdem soll der Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion verdeutlicht werden. Die Behandlung von Extremwertproblemen und das Erstellen von Funktionstermen aus vorgegebenen Bedingungen bilden einen weiteren Abschnitt der Differentialrechnung.
Mit der natürlichen Exponential und Logarithmusfunktion wird die vorerst letzte neue Art von Funktionen eingeführt. Sie bilden die Grundlage für die verschiedenen Wachstums- und Zerfallsprozesse, die in der Folge im Unterricht behandelt werden und die reellen Vorgänge in Natur und Technik besser beschreiben können als bisher bekannte Funktionen. Dazu gehören exponentielles, beschränktes und logistisches Wachstum.
Nachdem in Klasse 11 die Ableitungsfunktion als lokale Änderungsrate erkannt wurde, soll in Klasse 12 der Flächeninhalt unter der Kurve, der die lokale Änderungsrate beschreibt, als Gesamtänderung erkannt werden. Die Schüler lernen, bestimmte Integrale zu berechnen und können so den Flächeninhalt als Interpretation des Integrals bestimmen. Dazu werden auch Stammfunktionen der verschiedensten Funktionen benötigt und deren Berechnung mit Hilfe geeigneter Regeln erlernt.
Zuletzt bleiben noch Wendepunkte und Krümmungsverhalten als weitere charakteristische Eigenschaften von Funktionen und deren Graphen zu nennen.