Umkehrung des Kathetensatzes |
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Umkehrung des Kathetensatzes |
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Die Umkehrung des Kathetensatzes lautet:
Wenn für ein Dreieck ABC mit dem Höhenfußpunkt D auf [AB] die Beziehung |AC|2 = |AB|·|AD| (oder die Beziehung |BC|2 = |AB|·|BD|) gilt, dann ist Dreieck ABC rechtwinklig mit [AB] als Hypotenuse.
Beweisidee:
Wir betrachten ein beliebiges Dreieck auf das der Kathetensatz zutrifft und erarbeiten Beziehungen zwischen dem ursprünglichen Dreieck und einem rechtwinkligen Teildreieck. Wir stellen fest, dass das rechtwinklige Teildreieck ähnlich zu dem ursprünglichen Dreieck ist und dieses somit auch rechtwinklig sein muß.
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Die Figur zeigt ein beliebiges Dreieck ABC mit dem Höhenfußpunkt D auf
[AB]. Gilt nun die Beziehung |AC|2=|AB|·|AD|, so erhalten wir
hieraus das Verhältnis: (1) |AB|:|AC| = |AC|:|AD| Außerdem gilt: (2) Winkel BAC = Winkel DAC Wegen (1) und (2) ist Dreieck ABC ähnlich zum Teildreieck ACD. Da Winkel ADC = 90° muß auch Winkel ACB = 90° gelten, d. h. Dreieck ABC ist rechtwinklig mit [AB] als Hypotenuse Entsprechend wird der Beweis bei Voraussetzung von |BC|2=|AB|·|BD| geführt. |
