Beweis des Kathetensatzes |
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Beweis des Kathetensatzes |
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Wir verwenden zur Erarbeitung des Kathetensatzes die "euklidische Methode".
Beweisidee:
Zu zeigen ist die Flächeninhaltsgleichheit vom Quadrat ACEF über der Kathete [AC] mit dem Rechteck ADGH aus der Hypotenuse und dem Hypotenusenabschnitt [AD]. Dafür genügt der Nachweis, dass Dreieck ACF (= halbes Quadrat) und Dreieck AHD (= halbes Rechteck) denselben Flächeninhalt besitzen.
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Wegen BC | | AF haben die beiden Dreiecke AFC und AFB denselben
Flächeninhalt (Grundlinie und Höhe der beiden Dreiecke sind identisch). Wegen CD | | AH
sind auch die Dreiecke AHD und AHC flächeninhaltsgleich. Für die Dreiecke ABF und AHC gilt nun aber: |AB| = |AH| (= Hypotenuse c) |AF| = |AC| (= Kathete b) Winkel: BAF = HAC (= 90° + ß) Nach dem Kongruenzsatz SWS sind daher die Dreiecke ABF und AHC kongruent und somit flächengleich. Hieraus folgt, daß dann auch die Dreiecke ACF und AHD denselben Flächeninhalt besitzen müssen. |
Also gilt im rechtwinkligen Dreieck:
Bei jedem rechtwinkligen Dreieck besitzt ein Kathetenquadrat denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem zur betreffenden Kathete gehörenden Hypotenusenabschnitt.
a2 = c·p und b2 = c·q