Vom Satz des Pythagoras zum Höhensatz

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Beweisidee:

Wir wenden den Satz des Pythagoras am rechtwinkligen Dreieck ABC und an dessen rechtwinkligen Teildreiecken an und gelangen durch Addition entsprechender Gleichungen zum Höhensatz.

Da die Teildreiecke ADC und BDC rechtwinklig sind, können wir auf diese den Satz des Pythagoras anwenden und erhalten:
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b2 = q2 + h2    (*)

a2 = p2 + h2    (**)

Addition von (*) und (**) liefert:

a2 + b2 = p2 + q2 + 2h2     (I)

Ferner gilt:

a2 + b2 =  c2 = (p + q)2    (II)

Setzen wir I und II gleich, erhalten wir den Höhensatz:

p2 + q2 + 2h2 = (p + q)2

p2 + q2 + 2h2 = p2 +  q2 + 2·p·q

h2 = p·q

 

 

Einleitung

Sätze

Satz des Pythagoras Höhensatz Kathetensatz

Beweise

Arithmeti- scher Beweis Zerle- gungs- beweis Ergänzungs- beweis Ähnlich- keits- beweis Sche- rungs- beweis Beweis des Höhensatzes Beweis des Kathetensatzes

Zusammen- hänge

Vom Satz des Pythagoras zum Kathetensatz Vom Satz des Pythagoras zum Höhensatz Vom Höhensatz zum Kathetensatz Vom Höhensatz zum Satz des Pythagoras Vom Kathetensatz zum Höhensatz Vom Kathetensatz zum Satz des Pythagoras
Umkehrungen Umkehrung Satz des Pythagoras Umkehrung Höhensatz Umkehrung Kathetensatz

Prinzipien

Spezialisierung Verallgemeinerung Analogie  

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