Umkehrung des Satzes des Pythagoras |
Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras lautet:
Wenn Dreieck ABC ein Dreieck mit den Seiten a, b, c ist und die Beziehung c2 = a2+b2 gilt, dann ist Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit [AB] als Hypotenuse.
Beweisidee:
Wir gehen von einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b aus und zeigen, dass dieses kongruent zu dem im Satz formulierten Dreieck ist.
Sei A`B`C` dasjenige rechtwinklige Dreieck mit rechten Winkel bei C`, für dessen Katheten [A`C`] und [B`C`] gilt: |A`C|`= b und |B`C`| = a Da der Satz des Pythagoras auf Dreieck A`B`C` zutrifft, gilt für dessen Hypotenuse: |A`B`|2 = |A`C`|2 + |B`C`|2, also |A`B`|2 = a2 + b2. Wegen der Voraussetzung c2 = a2+b2 folgt hieraus |A`B`|2 = c2, was nur für |A`B`| = c möglich ist. Damit stimmen Dreieck A`B`C` und Dreieck ABC in allen drei Seiten überein. Sie sind demnach kongruent, was zur Folge hat, dass auch Dreieck ABC rechtwinklig ist mit [AB] als Hypotenuse.
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