Umkehrung des Satzes des Pythagoras

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Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras lautet:

Wenn Dreieck ABC ein Dreieck mit den Seiten a, b, c ist und die Beziehung c2 = a2+b2 gilt, dann ist Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit [AB] als Hypotenuse.

Beweisidee:

Wir gehen von einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b aus und zeigen, dass dieses kongruent zu dem im Satz formulierten Dreieck ist.

 

Sei A`B`C` dasjenige rechtwinklige Dreieck mit rechten Winkel bei C`, für dessen Katheten [A`C`] und [B`C`] gilt:

|A`C|`= b und |B`C`| = a

Da der Satz des Pythagoras auf Dreieck A`B`C` zutrifft, gilt für dessen Hypotenuse:

|A`B`|2 = |A`C`|2 + |B`C`|2, also  |A`B`|2 = a2 + b2.

Wegen der Voraussetzung c2 = a2+b2 folgt hieraus |A`B`|2 = c2, was nur für |A`B`| = c möglich ist.

Damit stimmen Dreieck A`B`C` und Dreieck ABC in allen drei Seiten überein. Sie sind demnach kongruent, was zur Folge hat,

dass auch Dreieck ABC rechtwinklig ist mit [AB] als Hypotenuse.

 

 

 

Einleitung

Sätze

Satz des Pythagoras Höhensatz Kathetensatz

Beweise

Arithmeti- scher Beweis Zerle- gungs- beweis Ergänzungs- beweis Ähnlich- keits- beweis Sche- rungs- beweis Beweis des Höhensatzes Beweis des Kathetensatzes

Zusammen- hänge

Vom Satz des Pythagoras zum Kathetensatz Vom Satz des Pythagoras zum Höhensatz Vom Höhensatz zum Kathetensatz Vom Höhensatz zum Satz des Pythagoras Vom Kathetensatz zum Höhensatz Vom Kathetensatz zum Satz des Pythagoras
Umkehrungen Umkehrung Satz des Pythagoras Umkehrung Höhensatz Umkehrung Kathetensatz

Prinzipien

Spezialisierung Verallgemeinerung Analogie  

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