Ergänzungsbeweis für den Satz des Pythagoras

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Beweisidee:

Beim folgenden altindischen Ergänzungsbeweis ergänzen wir das Hypotenusenquadrat bzw. die beiden Kathetenquadrate durch vier zum Ausgangsdreieck kongruente Dreiecke zu zwei Quadraten mit gleichen Seitenlänge (a+b).

bild20b.JPG (23771 Byte) Die linke Figur beinhaltet Kathetenquadrate (schraffiert) eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b. Die rechte Figur beinhaltet das Hypotenusenquadrat (schraffiert) eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse c.

Wir ergänzen die beiden Figuren mit vier kongruenten rechtwinkligen Dreiecken (Katheten a und b, Hypotenuse c). Da die zwei ergänzten Figuren deckungsgleich (näheres siehe hier)  und damit auch flächeninhaltsgleich sind und die ursprünglichen Figuren nur durch kongruente Teilfiguren (Dreiecke ABC) ergänzt wurden, müssen auch die ursprünglichen Figuren (a2+b2 und c2) flächeninhaltsgleich sein.

Deshalb gilt für die Flächenquadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks:

c2 = a2+b2

Eine Übung zum Ergänzungsbeweis finden Sie hier.

 

Einleitung

Sätze

Satz des Pythagoras Höhensatz Kathetensatz

Beweise

Arithmeti- scher Beweis Zerle- gungs- beweis Ergänzungs- beweis Ähnlich- keits- beweis Sche- rungs- beweis Beweis des Höhensatzes Beweis des Kathetensatzes

Zusammen- hänge

Vom Satz des Pythagoras zum Kathetensatz Vom Satz des Pythagoras zum Höhensatz Vom Höhensatz zum Kathetensatz Vom Höhensatz zum Satz des Pythagoras Vom Kathetensatz zum Höhensatz Vom Kathetensatz zum Satz des Pythagoras
Umkehrungen Umkehrung Satz des Pythagoras Umkehrung Höhensatz Umkehrung Kathetensatz

Prinzipien

Spezialisierung Verallgemeinerung Analogie  

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