... was ist das Eigentlich?

Ein anschauliches Beispiel für die Kugelgeometrie ist die Geometrie auf der Erdoberfläche, wenn wir die Erde näherungsweise als Kugel betrachten. Auf der Kugeloberfläche gibt es keine Geraden, aber ein Vielzahl unterschiedlicher Kreise.

verschiedene Schnittkreise auf der Kugelweitere Schnittkreise auf der Kugel


 

 

 

 

 

 

Schneiden wir die Kugel mit einer Ebene, die durch den Mittelpunkt der Kugel geht, so erhalten wir Großkreise. Auf der Erde sind die Längenkreise und der Äquator Großkreise. Schnittkreise, deren Schnittebene mit der Kugel nicht durch den Kugelmittelpunkt geht, heißen Kleinkreise. 

Satz: Auf der Kugeloberfläche ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte das Stück eines Großkreises.

Hilfssatz: Zeige zunächst anschaulich für die ebene Geometrie: Werden zwei Punkte A und B durch einen Kreisbogen verbunden, dann gilt: Je größer der Kreisradius, desto kürzer ist die Länge des Verbindungsbogens. 

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Mit gedrückter Maustaste läßt sich der Punkt M verschieben. 
Die folgende Zeichnung zeigt verschiedene Kreise durch zwei Punkte A und B auf der Kugel (linke Abb.). Alle Kreise durch A und B werden nun in die Ebene gedreht, die den Großkreis enthält (rechte Abb.). Begründe mit dem Hilfssatz: obigen Satz. 
Die Länge eines Großkreisbogens kann man aus dem Radius und dem zugehörigen Mittelpunktswinkel berechnen. 
ein Großkreisbogen mit dem Mittelpunktswinkel
Wenn man nun von einer festen Kugel ausgeht, ist es somit sinnvoll, den Mittelpunktswinkel als den (sphärischen) Abstand zweier Punkte bzw. als Länge eines Großkreisbogens zu bezeichenen. Dann hat etwa ein Punkt des Äquators zu einem Pol den Abstand 90°.

Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede gibt es zwischen der euklidischen Geometrie und der Kugelgeometrie?

Hier kannst Du etwas über die Unterschiede erfahren. 

Hier kannst Du eine Auswahl der wichtigsten Definitionen und Sätze der Kugelgeometrie nachlesen.