Muster und Funktionen
Folge
Eine Folge ist eine geordnete Liste von Objekten. Wie eine Menge enthält es Mitglieder (auch als Elemente oder Terme bezeichnet). Im Gegensatz zu einer Menge bezieht sich eine Folge auf folgendes: die gleichen Elemente können mehrere Male an verschiedenen Positionen in der Folge erscheinen. Eine Folge ist eine diskrete Funktion.
Wenn die Folge unendlich viele Elemente enthält, nennen wir es eine unendliche Folge. Wenn es endliche Elemente enthält, nennen wir es eine endliche Folge.

Zum Beispiel,
[A, B, C]
ist eine endliche Folge von Buchstaben. A ist an der ersten Position, B ist an zweiter Position und C ist an dritter Position.

Zusätzlich zur Identifizierung der Elemente einer Folge durch ihre Position können Elementen der Einfachheit halber Namen gegeben werden oder es kann eine Indexschreibweise eingeführt werden.

Also stehen in
[a_1, a_2, a_3]
die Indizes 1, 2 und 3 jeweils für das erste, zweite und dritte Element einer Folge.

Für das genannte Beispiel sieht das dann wie folgt aus:
a_1, a_2, a_3, \dots, a_n
wobei
a_n
sich allgemein auf das Element an der Stelle n der Folge bezieht.

Numerische Folge mit Werten aus den natürlichen Zahlen
Es handelt sich um eine diskrete Funktion von N auf N, bei der ein Element n aus N durch f(n) immer noch in N ist. Es ist eine Funktion, die nur von n abhängt.
Kurz gesagt, gibt f(n) den Wert an der n-ten Position in der Folge an. Anders gesagt, handelt es sich um das n-te Glied der Folge und so kann es wie folgt notiert werden:
f(n) = a_n.
[Es ist oft schwierig für die Lernenden den Unterschied zwischen dem Wert einer Folge und seiner Position in der Folge zu verstehen. Missverständnisse sind möglich.]

Peano-Axiome
Die Definition einer natürlichen Zahlenfolge folgt einem Axiomensystem der Arithmetik. Zunächst müssen dafür einige Begriffe geklärt werden: 0 das Zeichen für die Null, S das Zeichen für die Funktion `Nachfolger ', N das Zeichen für die Menge der natürlichen Zahlen.

Die Axiome der natürlichen Zahlen nach Peano
  1. 0 ist eine natürliche Zahl.
  2. Zu jeder Zahl n gibt es eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl n*, genannt der Nachfolger von n.
  3. 0 ist nicht der Nachfolger irgendeiner natürlichen Zahl.
  4. Zwei natürliche Zahlen n und m, deren Nachfolger gleich sind (d.h. m* = n*), sind selbst gleich (d.h. m = n).
  5. Es sei A eine Teilmenge der natürlichen Zahlen mit folgenden Eigenschaften: 0 gehört zu A; gehört n zu A, dann ist auch der Nachfolger n* von n ein Element von A. Dann stimmt A mit N überein. (Axiom der vollständigen Induktion)
Die vollständige Induktion ist nicht nur nützlich, um Beweise in den natürlichen Zahlen zu machen, sondern auch um Definitionen von Zahlenfolgen in den natürlichen Zahlen zu geben.

Rekursive Definition
Numerische Folgen natürlicher Zahlen können auch durch Rekursion definiert werden.
Ein Basisschritt und ein rekursiver Schritt erfüllen eine solchen Definition.

Zum Beispiel gibt die folgende Definition
d_1 = 1
d_{n+1} = d_n + 2
die Folge von ungeraden Zahlen an, so dass der allgemeine Term der Folge
d_n = 2n-1,
und dann
f(n)=2n-1.
Einige Folgen können durch doppelte Rekursion, d.h. mit zwei Basis-Schritten, definiert werden.
Es gibt einen Unterschied zwischen der geschlossenen Form f(n), durch den das Element an der n-ten Position bestimmt wird, und der Definition durch Rekursion die den allgemeinen Term f(n) angibt, der abhängig von dem vorhergehenden Term der Folge f(n-1) ist.