Taschenrechner und Computer im Mathematikunterricht WS0708
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[bearbeiten] Themen zur Bearbeitung
[bearbeiten] Thema 1: Mit welchen Zahlen rechnet der GTR TI-nspire?
Ganze Zahlen:
Die ganzen Zahlen umfassen alle Zahlen ..., -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,... und sind deshalb eine Erweiterung der natürlichen Zahlen, da sie alle natürlichen Zahlen sowie deren negative Zahlen enthalten. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit dem Symbol 
abgekürzt. Das steht hier für Zahlen.
=> := {...,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...}. enthält 0 und jede natürliche Zahl n auch -n.
Rationale Zahlen:
Die rationale Zahl kann als Verhältnis zweier ganzen Zahlen dargestellt werden. Rationale Zahlen sind also alle "Brüche" der Form m/n mit ganzen Zahlen m und n, wobei n nicht Null sein darf. Hierbei ist als Nenner auch n = 1 erlaubt, d.h., wir sehen auch die ganzen Zahlen selbst als spezielle rationale Zahlen an. Die genaue mathematische Definition beruht auf den Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit dem Symbol 
abgekürzt. Das steht hier für Quotient. Der Bergriff rationale Zahl kommt von dem Lateinischen "Ratio".
=> 
,d.h. die positiven und negativen Brüche.
Komplexe Zahlen:
Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlbereich der reellen Zahlen, so dass auch Wurzeln negativer Zahlen berechnet werden können. Dies gelingt durch die Einführung einer neuen Zahl i als Lösung der Gleichung i² = -1. Diese Zahl i wird als rein-imaginäre Einheit bezeichnet. Komplexe Zahlen werden meist in der Form a + bi dargestellt, wobei a,b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit. Es lassen sich alle üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen anwenden , wobei man stets i² durch –1 (oder umgekehrt) ersetzen kann. Durch die Einführung der komplexen Zahlen besitzt jede algebraische Gleichung eine Lösung, was für reelle Zahlen nicht gilt. Die Menge der komplexen Zahlen wird mit dem Symbol 
abgekürzt.
=> 
. Es findet eine Erweiterung von Zahlenstrahl zur Zahlenebene statt.
Bearbeiter: Melanie Neumüller, Gordana Milovanovic.
1.Übung, Aufgabe 3:
Berechnen Sie den Term auf drei verschiedene Arten.
Lösung:
Wir ersetzen 10864 mit a und 18817 mit b:
Nun suchen wir algebraisch äquivalente Terme:
Geben wir diese algebraisch äquivalente Terme in den Taschenrechner ein, liefert er uns verschiedene Terme. So erhalten wir für die Terme folgende Ergebnisse: Taschenrechner: fx-85MS
(1) -1841022
(2) 0
(3) -2000000
Gibt man die drei algebraisch äquivalente Terme in den TI-nspire ein, so erhält man immer die Zahl 1.
Erklärung:
Der gewöhnliche Taschenrechner kann nicht mit so hohen Zahlen, wie es in der Augabenstellung der Fall ist, rechnen. Der TI-nspire kann mit viel höheren Zahlen rechnen als beispielsweise der Casio fx-85MS. Nehmen wir ein einfaches Beispiel zur Erklärung:
Nun ist ersichtlich, dass der TR bei sehr hohen Zahlen klar ein falsches Ergebnis liefert. Dies ist auch der Grund, warum er bei algebraisch äquivalenten Termen verschiedene Ergebnisse liefert. Er rundet nach zehn Stellen auf und so verändert sich auch das Ergebnis bei Umformungen.
Bearbeiter: Melanie Neumüller, Gordana Milovanovic.
2. Übung, Aufgabe 9:
Welche Lösungen hat das Gleichungssystem, wenn die Koeffizienten als natürliche Zahlen bzw. als Dezimalbrüche (wie etwa 416785.) eingegeben werden?
Lösung:
Es gibt zwei Möglichkeiten diese Aufgabe zu lösen
1. Möglichkeit
Wir geben in den Taschenrechner ein:
gls:=416785*x+415872*y=1 AND 415872*x+416785*y=0
solve(gls,{x,y}) oder solve(gls,x,y) liefert das Ergebnis
(Wir gehen mit der "nach oben Taste" auf das Ergebnis und kopieren es mit ctrl c)
gls|ans => false
(denn in ans stehen die gerundeten Ergebnisse x=.0005 und y=.000499)
gls|ctrl v => true
(um das Zeichen | zu erhalten, drückt man ctrl sto)
2. Möglichkeit
Mit Hilfe einer Matrix. Man gibt in den Taschenrechner ein:
Aerw:= menu -> 2 -> 3 (Matrix) -> Zeilenzahl 2, Spaltenzahl 3 -> OK
Werte eintragen und enter drücken liefert die Matrix
Im Katalog gibt es den Befehl ref(), womit wir die Matrix auf die Dreiecksform bringen
ref(aerw) enter liefert
rref(aerw) enter liefert
Bearbeiter: Melanie Neumüller, Gordana Milovanovic, Snezana Milovanovic
- Erläutern des Fachterminus normalisierte Gleitkommazahl;
- Musterlösungen der folgenden Aufgaben: 1. Übung: 1,2;
- 2. Übung: 7,8
- Erklären der beobachtbaren Effekte.
[bearbeiten] Thema 2: Wie behandelt der TI-nspire reelle Zahlen?
Erwartungshorizont: Erklären der Effekte der folgenden Aufgaben: 1.Übung:4,7,8,9;
1.Übung, Augabe 5:
Die Funktion y=4x-1 hat den Fixpunkt 1/3. Ihre Rechenhilfe wird etwas anderes behaupten, wenn sie die Funktion
y 30-mal iterieren, also den Term 
berechnen. Wollen sie jetzt nicht ihre Rechenhilfe wegwerfen???
Lösung:
y: "mal 4 minus 1"
Wählt man den Startwert 0.5, so erhält man nach einsetzen in y das Ergebnis 1. Setzt man anschließend das Ergebnis in die Funktion ein, so erhält man die Zahl 3. Da die Funktion x=4x-1 lautet, besitzt sie den Fixpunkt x=1/3. Graphisch ist es wie folgt darstellbar:
Umsetzung auf GTR TI-nspire
Nun wollen wir die Funktion y:4x-1 iterieren. Wir wählen die Zahl 1/3, da dies der Fixpunkt der Funktion ist. Daraus folgt, dass auch nach 30-maliger Anwendung dieser Wert herauskommen muss.
Eingabe in den Taschenrechner
1/3. Enter -> 0.333333
Der Punkt hinter dem Bruch 1/3 muss gesetzt werden, so dass der GTR eine Dezimalzahl anzeigt. Man könnte jedoch auch 1/3 ctrl Enter drücken um eine Dezimalzahl zu erhalten.
Nun rechnen wir mit dem Ergebnis weiter, also: Ans*4-1 -> 0.333333 Diesen Schritt wiederholen wir 30-mal. Jedoch weicht das Ergebnis schon nach dem 14.mal leicht ab, wir erhalten nun statt 0.333333 die Zahl 0.333331. Nach der 30. Ausführung ist die Abweichung schon gewaltiger, nun erscheint -9607.35.
Erklärung:
Der GTR speichert mehr Stellen nach dem Komma, als er uns auf den Display anzeigt. Kopieren wir nun das Ergebnis, so rechnet der GTR mit dem gespeicherten Wert weiter, also mit dem, den er uns anzeigt. Würde der GTR nicht ab einer gewissen Stelle das Runden anfangen, würde nach n-maligen iterieren auch noch das exakte Ergebnis 1/3 herauskommen.
Bearbeiter: Melanie Neumüller, Gordana Milovanovic..
[bearbeiten] Thema 3:Umgang mit Näherungswerten
Erwartungshorizont: Erläutern der Begriffe: Runden, Schreibweisen,Fehlerfortpflanzung bei den arithmetischen Operationen, Wertschrankenmethode;
- Musterlösungen der folgenden Aufgaben: 1. Übung: 6;
Bearbeiter: Bitte eintragen.
[bearbeiten] Thema 4: Beurteilen von Daten durch Lage- und Streuungsmaße
Mittelwert:
Mittelwerte treten in der Mathematik und vor allem in der Statistik in inhaltlich unterschiedlichen Kontexten auf. In der Statistik ist ein solcher Mittelwert ein sogenannter Lageparameter, also ein aggregierender Parameter einer Stichprobe oder Grundgesamtheit. Ziel eines solchen Parameters ist es, wesentliche Informationen einer längeren Reihe von Messdaten in wenigen Daten zusammenzufassen. In der Mathematik treten Mittelwerte, insbesondere die drei klassischen Mittelwerte (Arithmetisches, Geometrisches und Harmonisches Mittel) auf. Mittelwerte spielen eine spezielle Rolle in der Analysis, dort im wesentlichen im Zusammenhang mit berühmten Ungleichungen und wichtigen Funktionseigenschaften wie Konvexität.
=> X1...Xn seien gegebene reelle Zahlen, in der Statistik Messwerte, deren Mittelwert berechnet werden soll.
Streuung:
Streuung ist in der Statistik eine Maßzahl für die Breite einer Zufallsverteilung. Unter Streuung fasst man verschiedene Maßzahlen zusammen, die der Einschätzung der Streubreite von Stichprobenwerten um ihren Mittelwert dienen. Die verschiedenen Berechnungsmethoden unterscheiden sich durch ihre Beeinflussbarkeit/Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern. Die Streuung der Stichprobenverteilung wird als Standardfehler bezeichnet.
Varianz
Die Varianz ist in der Statistik ein Streuungsmaß, d.h. ein Maß für die Abweichung einer Zufallsvariable X von ihrem Erwartungswert E(X). Die Varianz verallgemeinert das Konzept der Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert in einer Beobachtungsreihe. Die Varianz der Zufallsvariable X wird oft als V(X) oder Var(X) bezeichnet.
Bearbeiter: Melanie Neumüller, Gordana Milovanovic..
2.Übung, Aufgabe 5:
Ein Autofahrer tankt immer für 50 Euro. Bei den letzten 5 Füllungen kostete der Liter Superbenzin 1.289, 1.319, 1.309, 1.369 und 1.489 Euro. Welchen Durchschnittspreis hat er gezahlt?
Lösung:
k = 50 Euro
Umsetzen auf GTR:
1.Schritt: Eine Liste der Spritpreise erstellen:
p := {1.289,...,1.489} enter
p^-1 einmal cursor-Taste nach rechts[sto]pk.
Es erscheint auf dem Display: 
.
Danach wollen wir die Summe berechnen. Wir geben sum (pk) ein und wir erhalten nun als Ergebnis 3.69994.
Nun müssen wir noch 
eingeben und danach erhalten wir unser Ergebnis: 1.35137.
Also war der Durchschnittspreis der Tankfüllungen 1.35137 Euro/Liter.
Bearbeiter: Melanie Neumüller, Gordana Milovanovic, Snezana Milovanovic
2.Übung, Aufgabe 6:
Die Tabelle zeigt die Neuzulassungen von PKWs
Jahr Anzahl 1970 5 244 1971 9 629 1972 16 729 1973 24 161 1974 22 826 1975 27 547 1976 39 720
Um wieviel Prozent nahmen die Neuzulassungen von Jahr zu Jahr zu? Bestimmen Sie die durschschnittliche Wachstumsrate für die Jahre von 1970 bis 1976. Unter der Annahme, dass die Wachstumsrate für die folgenden Jahre gleich bleibt, würden 1977 rechnerisch 55608 Wagen neu zugelassen. Prophezeien Sie die Anzahl der Neuzulassungen für 2006 und vergleichen Sie Ihre Schätzung mit der erreichten Anzahl.
Lösung:
Wir schauen uns die einzelnen Wachstumsfaktoren an
1970 1971 1976 5 244 * q1 -> 9 629 * q2 -> * ... * q6 -> 39 720
somit ist q1 = 
=> 5 244 * q1 * q2 * q3 * q4 * q5 * q6 = 39 720
Die Idee ist, einen mittleren Wachstumsfaktor q zu finden.
mit 5 244 * q^6 = 39 720
Umsetzen auf GTR:
q1 = , ... , q6 = 
Wir erstellen eine Liste l
l:={5244,9629, ... ,39720}
l2:=augment(l,{39720})
l1:=augment({5244},l)
Nun wollen wir die einzelnen Faktoren herausfinden:
faktoren:=l2/l1
liefert uns die Faktoren als Bruch!
Mit ctrl + ^ können wir die n-te Wurzel aus x ziehen und geben ein:
ctrl + enter
Wir erhalten das Ergebnis p = 1,40139.
(den Befehl augment() und product() kann man über den Katalog finden oder man tippt sie ein)
Bearbeiter: Melanie Neumüller, Gordana Milovanovic, Snezana Milovanovic
- Musterlösungen der folgenden Aufgaben: 1. Übung: 7; 2. Übung: 14
[bearbeiten] Thema 5: Repräsentationsformen für Folgen und Funktionen
Erwartungshorizont: Erläutern der Begriffe: Darstellung in den Programmen Lists and Spreadsheet bzw. Graphs and Geometry bzw. Calculator (Verwendung des Speichers Ans);
- Musterlösungen der folgenden Aufgaben: 1. Übung: 4, 5; 2. Übung: 1, 2, 11, 12, 13
Bearbeiter: Bitte eintragen.
[bearbeiten] Thema 6: Einsatz von Listen beim Lösen traditioneller Sachaufgaben
Erwartungshorizont: Erläutern der Aufgabentypen,der bisherigen Lösungsverfahren un der neuen Sichtweise;
- Musterlösungen der folgenden Aufgaben: 2. Übung: 5,6;
1) Allgemeines zum Umgang mit Listen beim TI
Listen ersparen häufig viele Rechnungen in verschiedenen Bereichen. Beim CAS des TI-NSpire verwendet man zur Eingabe von Listen das Dokument Calculator, welches ueber das Hauptmenue ausgewählt werden kann.
Man kennzeichnet eine Liste im TI folgendermasen:
l:= {...}
wobei der Name der Liste (hier "l") beliebig gewählt werden kann; entscheidend sind die geschweiften Klammern, sowie zur Definition einer Liste := und nicht nur ein einfaches =.
2) Rechnen mit Listen
Grundrechenarten sind mit Listen erlaubt.
Voraussetzung dafuer: Beide Liste müssen gleich lang sein, d.h. gleich viele Elemente besitzen.
Rechnungen mit zwei Listen:
Bsp.: l1:= {1,2,3} ; l2:= {4,5,6}
Addition: l1+l2= {5,7,9} (analog Subtraktion)
Multiplikation: l1*l2= {4,10,18} (analog Division)
Rechnungen in einer Liste:
sum (l1) = 6 (Addition der einzelnen Elemente in l1) product (l2) = 120 (Multiplikation der einzelnen Elemente) dopt(l)--> Skalarprodukt crossp(l) --> Vektorprodukt
3) Beispiele aus den Übungsaufgaben für die Anwendung von Listen
zu 2.Übungsblatt; 2.Aufgabe:
Aufgabenstellung:
Für das Merkmal Länge sind viele Skalen gebräuchlich, z.B. Meter-, Zentimeter-, Yard-, Foot-, Zoll- und Saschen-skalen (altes russisches Längenmaß).
Erläutern Sie den Aufbau dieser Skalen und geben Sie Funktionen an, die dem Übergang von Yard zu Meter, Zentimeter, Feet, Zoll und Saschen und von Saschen zu Meter, Zentimeter, Yard, Feet und Zoll beschreiben.
Lösung mit Hilfe des TI-Nspire unter der Verwendung von Listen:
Umrechnungstabelle: Meter in andere Einheiten
Einheit Faktor Meter 1m*m^-1 Zentimeter 100cm*m^-1 Yard 1.09Yd*m^-1 Foot 3.28ft*m^-1 Zoll 39.4Zoll*m^-1 Saschen 0.409Saschen*m^-1
Beispiel: Berechnung von Saschen in andere Längeneinheiten
1. Schritt:
Liste der Umrechnungsfaktoren von Meter in andere Einheiten mit Hilfe des TI
L:= {1, 100, 1.09, 3.28, 39.4, 0.409} (Befehl enter zum Speicher der Liste)
2. Schritt: Saschen in andere Einheit
Dividiere die Liste L durch den Faktor von Saschen (0.409) um die Umrechnungsfaktoren für die jeweiligen anderen Längeneinheiten zu erhalten.
L/0.409 --> neue Liste
Ls:=...............
Beispiel: Längenangabe in Saschen
s = 5 Saschen --> Umrechnung in Meter
Aus Liste zugehörigen Wert auswählen (hier: 2.44499).
s*2.44499 = 5Saschen * 2.44499*m*Saschen^-1 = 12.225m
Eine Liste erspart hierbei viele Rechenschritte, da man die Umrechnungsfaktoren von einer Größe in alle anderen sofort in einem Schritt erhält.
zu Übungsblatt 2, Aufgabe 5:
Berechnung des harmonischen Mittels mit Hilfe von einer Liste.
Berechnung ohne Liste: 1/H(x1,...,xn) = 1/n * ( 1/x1 + 1/x2 + .... +1/xn) (Def.: Harmonisches Mittel)
Aufgabenstellung:
Ein Autofahrer tankt immer für 50 Euro. Bei den letzten fünf Füllungen kostete der Liter Superbenzin 1.289, 1.319, 1.309, 1.369, 1.489 Euro. Welchen Durchschnittspreis hat er gezahlt? Können Sie die Preisentwicklung durch eine Kurve beschreiben?
1. Schritt:
Liste der Spritpreis erstellen.
p:= {1.289, 1.319, 1.309, 1.369, 1.489} (Befehl enter zum Speichern der Liste)
2. Schritt: Kehrwert der Liste
Neue Liste pk:=p^-1 (Befehl enter zum Speichern der Liste)
3. Schritt: Aufsummieren der Kehrwerte
Neue Liste spk:= sum (pk) (Befehl enter zum Speichern der Liste)
4. Schritt: Kehrwert von spk
spk^-1 = ......
5. Schritt: spk^-1 mit ans-Befehl kopieren
Ans * 5 = .......
Hiermit erhät man den Durschnittspreis der angegebenen Benzinwerte.
zu Übungsblatt 2; Aufgabe 7
Liste als Hilfsmittel zum Erstellen einer Wertetabelle.
Gegebene Funktion: n--> 10^n * ( Wurzel(10^-n + 2.25) - 1.5) mit n Element {1,2,3,....,13}
1. Schritt: Definieren der Funktion im Calculator (Define-Befehl über Katalog oder Menü 1 - 1 )
definef1(x)=10^n * ( Wurzel(10^-n + 2.25) - 1.5)
2. Schritt: Liste erstellen
l1:= seq (x,x,1,13)
.... Fortsetzung folgt....
Bearbeiter: Carolin Berthold, Franziska Müller. (noch in Bearbeitung)
[bearbeiten] Thema 7: Simulation des Würfelns
Erwartungshorizont: Erläutern des Vorgehens
- Musterlösungen der folgenden Aufgaben: 2. Übung: 3, 4;
Bearbeiter: Bitte eintragen.
