Mathematik auf Büchern - Die ISBN
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[bearbeiten] Einleitung
Wenn man, inspiriert von den vielen mathematischen Hintergründen berühmter Würzburger Gebäude, die ganze Schönheit dieser Bauwerke erfassen will, kann man beispielsweise zu einem Bildband über Würzburg greifen oder mit Hilfe eines Stadtführers die schönen Ecken der Stadt und die mathematischen Strukturen "live" erfahren. Doch selbst in diesem Bildband, im Stadtführer, aber auch in bzw. auf jedem anderen Buch ist einiges an Mathematik versteckt.
Hat man sich beispielsweise im Internet zum Zwecke der Stadtbesichtigung den Bildband "Würzburg" und den Stadtführer "Würzburg Stadtführer" von Erika Kerestely herausgesucht und will man diese beim "Buchhändler um die Ecke" bestellen, wird dieser nach der ISBN fragen. Hinter dieser Nummer ist einiges an Mathematik versteckt. Im folgenden soll erklärt werden, was genau die ISBN angibt und wie sie automatisch feststellt, ob beim Übermitteln der Nummer eine Zahl falsch durchgegeben oder Zahlen verdreht wurden und man so anstatt dem Stadtführer von Würzburg mit der ISBN 3800316380 einen Stadtführer über Prag mit der ISBN 3800316390 erhält.
Darüber hinaus soll dargestellt werden, wie dieses Beispiel von Mathematik im Alltag im Unterricht eingesetzt werden kann.
[bearbeiten] Die Internationale Standardbuchnummer ISBN
Die Internationale Standardbuchnummer (ISBN) kennzeichnet eindeutig Bücher, aber auch Veröffentlichungen, Software und Multimediaprodukte. Bis 2006 bestand sie aus 10 Ziffern, ISBN-10 genannt. Da vor allem im englischsprachigen Raum die zu vergebenden Nummern langsam knapp wurden, stellte man auf eine 13-stellige ISBN-13 um. Ein weiterer Vorteil dieser ISBN-13 ist, dass sie nun mit der EAN übereinstimmt.
Die ISBN besteht aus fünf Bestandteilen: Dem dreistelligen Präfix, der Gruppennummer (Ländernummer), der Verlagsnummer, der Titelnummer und einer Prüfziffer.
Der Präfix ist nur bei der ISBN-13 zu finden. Bücher, die bereits zu Zeiten des ISBN-10 erschienen sind, behalten ihre ISBN-10, es wird nur der Präfix 978 vorangestellt, und die Prüfziffer angepasst. Neue Bücher bekommen den Präfix 979. Bei der EAN kennzeichnen diese ersten drei Ziffern das Registrierungsland, d.h. das Land in dem die Artikel registriert wurden - für den deutschen Raum wären das die Ziffern 400 bis 440. Da weltweit alle Bücher den Präfix 978 oder 979 tragen, wird der ISBN auch als Buchland-EAN oder Bookland-EAN bezeichet. Bücher sind sozusagen Artikel, die in "Buchland" registriert sind.
Die Gruppennummer gruppiert die Bücher geographisch, sprachlich oder nach einer anderen logischen Einteilung. Sie kann unterschiedlich viele Ziffern enthalten.
0 und 1 stehen für den englischsprachigen Raum, 2 für den französischsprachigen und 3 für den deutschsprachigen Raum. Eine ausführliche Liste ist auf den Seiten von Wikipedia zu finden. ISBN-Gruppennummern
Die Verlagsnummer steht für die verschiedenen Verlage und wird von nationalen Organisationen vergeben.
Die Titelnummer steht für einen bestimmten Buchtitel, der in dem betreffenden Verlag erschienen ist. Verschiedene Auflagen ein und desselben Buches, die sich inhaltlich nicht unterscheiden, erhalten die gleiche Titelnummmer. Allerdings gibt es für Hardcover- und Taschenbuchausgaben eines Buches unterschiedliche Titelnummern.
Die Prüfziffer soll eine Sicherheit gegen Zahlendreher und Tippfehler gewährleisten. Gerade im deutschsprachigen Raum kommen Zahlendreher häufig vor, da sich Aussprache und Schriftbild unterscheiden: man sagt „neununddreißig“, schreibt aber „drei-neun“.
Im englischsprachigen Raum beispielsweise gibt es diesen Unterschied nicht, man spricht und schreibt die Zahlen immer getreu ihrer Darstellung im Dezimalsystem.
Und genau in dieser Prüfziffer steckt einiges an Mathematik. Auch die EAN ist mit einer Prüfziffer ausgestattet, die sich allerdings anders berechnet als die Prüfziffer der ISBN. Im Zuge der Angleichung der ISBN an den EAN wurde auch die Prüfziffernberechnung angeglichen, wodurch sich jetzt die ISBN-10 Prüfziffer nach einem andern Algorithmus berechnet als die neue ISBN-13 Prüfziffer.
[bearbeiten] Die Berechnung der Prüfziffer
[bearbeiten] ISBN-10
- Man bezeichnet die ersten neun Ziffern mit z1, ..., z9 und die Prüfziffer mit z10. Man addiert nun die ersten neun Ziffern auf, wobei die erste Ziffer einfach, die zweite Ziffer doppelt, die dritte Ziffer dreifach, usw. gewertet werden.
- Die Prüfziffer ist der Rest der Division des Zwischenergebnisses durch 11, wobei eine 10 als Prüfziffer durch ein X (römische 10) ersetzt wird.
- Beispiel:
- „Würzburg Stadtführer“ von Erika Kerestely (ISBN-10: 3800316382):
[bearbeiten] ISBN-13
- Die Prüfziffer der ISBN-13 wird ein wenig anders berechnet als die der ISBN-10. Hier bezeichnet man die ersten 12 Ziffern der ISBN mit z1, ..., z12 und die Prüfziffer mit z13. Man addiert die ersten 12 Ziffern auf, wobei die Ziffern an gerader Stelle dreifach gewertet werden.
- Die Prüfziffer erhält man nun durch Subtraktion der letzten Ziffer dieses Zwischenergebnisse von 10, wobei eine 10 als Prüfziffer durch eine 0 ersetzt wird.
- Eine Erklärung zu mod ist auf den Seiten von Wikipedia zu finden. Modulo
- Beispiel:
- „Würzburg Stadtführer“ von Erika Kerestely (ISBN-13: 978-3800316380):
[bearbeiten] Die Erkennung von Tippfehlern und Zahlendrehern
[bearbeiten] ISBN-10
[bearbeiten] Tippfehler
- Angenommen man hat sich bei der Prüfziffer vertippt - diese kann aus den ersten 9 Ziffern ganz leicht nachgerechnet werden, also stellt dies kein Problem dar.
- Wie sieht das aber an jeder anderen beliebigen Stelle aus?
- Ein Tippfehler würde genau dann nicht auffallen, falls der Tippfehler die Prüfziffer nicht ändert, also die Differenz der beiden Zwischensummen ein Vielfaches von 11 beträgt.
- Angenommen man hat sich an k-ter Stelle vertippt:
- Man betrachte die Differenz zwischen „richtiger“ und „vertippter“ ISBN. Genau an k-ter Stelle ist diese ungleich 0. Der Wert der Differenz sei gleich t. Also
. Der Tippfehler fällt nicht auf, falls 
, da die Prüfziffer dann gleich bleibt. Da jedoch weder i noch t durch 11 teilbar sind, folgt da 11 eine Primzahl ist:
.
- Deswegen fällt ein einfacher Tippfehler immer auf.
[bearbeiten] Zahlendreher
- Ein Zahlendreher würde genau dann nicht auffallen, falls der Zahlendreher die Prüfziffer nicht ändert, also die Differenz der beiden Zwischensummen ein Vielfaches von 11 beträgt.
- Die Ziffern an den Positionen k und (k+1) bezeichnet man mit x und y, wobei x ≠ y gelten muss, da es sich sonst nicht um einen Zahlendreher handelt. Man betrachtet die Differenz der „richtigen“ und der „verdrehten“ ISBN und berechnet deren Prüfziffer.
- Da die richtige und die verdrehte ISBN unterschiedliche Prüfziffern haben, lassen sich also Zahlendreher auch immer erkennen.
[bearbeiten] ISBN-13
[bearbeiten] Tippfehler
- Angenommen man hat sich bei der Prüfziffer vertippt - diese kann aus den ersten 12 Ziffern ganz leicht nachgerechnet werden, also stellt dies kein Problem dar.
- Ein Tippfehler würde genau dann nicht auffallen, falls der Tippfehler die Prüfziffer nicht ändert, also die Differenz der beiden Zwischensummen ein Vielfaches von 10 beträgt.
- An den ungeraden Stellen ist die Differenz sowieso immer < 10.
- An den geraden Stellen kann man auch keinen Fehler von 10 machen, da nur Vielfache von 3 (und zwar zwischen 0 und 27) in die Rechnung eingehen und 3 kein Teiler von 10 ist.
- Einzelne Tippfehler werden also immer erkannt, da man mit einer einzigen Ziffernänderung keinen Fehler von 10 machen kann.
[bearbeiten] Zahlendreher
- Ein Zahlendreher würde genau dann nicht auffallen, falls der Zahlendreher die Prüfziffer nicht ändert, also die Differenz der beiden Zwischensummen ein Vielfaches von 10 beträgt.
- Angenommen man vertauscht versehentlich zwei benachbarte Ziffern a und b, dann würde in die Berechnung der Prüfziffer 3a + b anstatt a + 3b oder umgekehrt eingehen.
- Dies würde nur dann nicht auffallen, falls
- also
- Für n = 0 gilt a = b, also haben wir gar keinen Zahlendreher.
- Für n = 1 gibt es die Möglichkeiten
.
- Für n > 1 gibt es keine Lösung für
.
- Das heißt, alle Zahlendreher außer
-
- werden auch von diesem System erkannt.
Aber:
Es kann jedoch passieren, dass sich zwei Tippfehler oder Zahlendreher gegenseitig aufheben. Das Prüfziffern-System ist zwar eine große Hilfe bei kleineren Fehlern, jedoch kann es nicht die größte Fehlerquelle - den Benutzer selbst - komplett korrigieren. Ein wachsamer und konzentrierter Geist ist somit immer von Nöten.
[bearbeiten] Anwendung in der Schule – Skizze einer Unterrichtssequenz
Die folgende Skizze soll einen groben Anhaltspunkt geben, wie Prüfziffern im Zusammenhang mit der ISBN im Mathematikunterricht eingesetzt werden können. Die Skizze muss natürlich der jeweiligen Altersstufe angepasst werden.
[bearbeiten] Einleitung
Durch das Vorstellen verschiedener Bücher, aber auch anderer Artikel und der Frage nach der Gemeinsamkeit dieser Artikel kann das Interesse der Schüler auf den Barcode und die ISBN gelenkt werden. Darüber hinaus kann in einer Stoffsammlung erarbeitet werden, wie und wozu die ISBN nötig ist.
Weiterführende Fragen:
- Welche Probleme können bei der Übermittlung dieser Zahlen auftreten? Ziffer vergessen; Ziffer falsch verstanden oder falsch abgeschrieben; Vertauschen von Ziffern
- Wie kann man diese Fehler vermeiden? Entsteht dadurch ein größerer Aufwand? Die Übermittlung kann wiederholt werden (Doppelter Zeitaufwand); Ziffern einzeln mit Pausen übermitteln (größerer Zeitaufwand)
- Kann man auch eine „automatische Kontrolle“ mit Hilfe der Mathematik einbauen, um eine falsch geschriebene Zahl zu erkennen? Einführen einer Prüfziffer, z.B. durch Addition oder Multiplikation der Ziffern.
- Schützt diese Kontrolle auch vor dem Vertauschen von Ziffern? Kann man auch das Vertauschen kontrollieren? Vertauschungen kann man aufgrund des Kommutativgesetzes nicht erkennen. Man müsste die Ziffern gewichten.
- Entwickelt ein eigenes Prüfziffernsystem und diskutiert die Vor- und Nachteile!
[bearbeiten] Hauptteil
Im Anschluss an diese Fragen, die im Klassenverband oder in Gruppenarbeit gelöst und vorgestellt werden können, kann der Lehrer das Prüfziffernsystem der ISBN-10 und die Bedeutung der letzten Ziffer, der Prüfziffer, erklären. Darüber hinaus können auch die Bedeutungen der anderen Ziffern erklärt werden, wenn das nicht schon in der Stundeneinleitung geschehen ist. Die Schüler können anhand von realen Bücherbeispielen das System überprüfen und die Rechnung selbstständig durchführen.
Für die Lösung weiterführender Fragen kann ein Prüfziffernrechner eingesetzt werden, oder gemeinsam mit den Schülern mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms ein Programm zur Berechnung der Prüfziffer (Excel) (OpenOffice) erarbeitet werden.
Screenshots der Beispielrechner (siehe Links im Text):
Weiterführende Fragen:
- Erkennt dieses Prüfziffernsystem falsch übermittelte Zahlen oder Zahlendreher? Warum?
- Eine der Ziffern wurde bei der Übermittlung nicht verstanden oder ist unleserlich. Kann man anhand der Prüfziffer errechnen, welche Ziffer es gewesen sein muss? Probiert es an einem konkreten Beispiel aus!
- (Beispiel: Welches Buch verbirgt sich hinter der unvollständigen ISBN-10: 35_1577773)
- Funktioniert dies auch, wenn 2 Zahlen unleserlich sind?
- Wie ändert sich die Prüfziffer, wenn man eine Ziffer um eins erhöht? Kann man durch Ändern einer anderen Zahl erreichen, dass wieder die richtige Prüfziffer herauskommt, d.h. dass der Fehler nicht erkannt wird?
[bearbeiten] Ausblick
Im Anschluss daran oder als Hausaufgabe oder für eine Gruppenarbeit kann man die gleichen Fragen auch für die ISBN-13 stellen, Gemeinsamkeiten und Unterschiede diskutieren und überlegen, welches der Systeme sicherer erscheint.
Weiterführende Fragen:
Neben jeder ISBN ist auch ein Strichcode/Barcode vorhanden - auch auf anderen Produkten. Wie funktioniert dieser Barcode und wo ist dabei Mathematik versteckt?
Auch können die Schüler recherchieren, an welcher Stelle in anderen Bereichen Prüfziffern eingesetzt werden, z.B. bei der Nummer des Personalausweises. (siehe auch Sicherheit durch Mathematik)
[bearbeiten] Gründe für den Einsatz dieses Beispiels im Mathematikunterricht
- Spaß, Interesse
- Schüler erkennen die Einsatzmöglichkeiten der Mathematik im Alltag
- Durch das eigene Recherchieren und die Beschäftigung mit einer praktischen Anwendung kann das Interesse an der Mathematik verstärkt werden
- Das Kopfrechnen und Nutzen von Rechenvorteilen wird geschult
- Teilbarkeit wird wiederholt
- Das bewegliche Denken wird gefördert (Wie ändert sich die Prüfziffer, wenn ich eine Zahl vertausche?)
- Durch die Diskussion und die Gruppenarbeit werden das mathematische Argumentieren und das Verbalisieren mathematischer Probleme gefördert
- Der Funktionenbegriff kann wiederholt werden (Einer Zahl z.B. einer ISB-Nummer, wird eine Prüfziffer zugeordnet; Der ISBN wird ein Strichcode zugeordnet.)
- Die Schüler können erkennen, dass komplexe Probleme durch relativ einfache mathematische Methoden gelöst werden können.
