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    Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

    Vom Satz des Pythagoras zum Kathetensatz

    Beweisdee:

    Wir wenden den Satz des Pythagoras am rechtwinkligen Dreieck ABC und an dessen rechtwinklige Teildreiecke an und gelangen durch Subtraktion und Addition entsprechender Gleichungen zum Kathetensatz.

    Da die Teildreiecke ADC und BDC rechtwinklig sind, können wir auf diese den Satz des Pythagoras anwenden und erhlten:

    b2 = q2 + h2    (*)

    a2 = p2 + h2    (**)

    Wir eliminieren h indem wir (**) von (*) subtrahieren:

    a2 - b2 = p2 - q2 = (p + q) · (p - q)    (I)

    Ferner gilt:

    a2 + b2 = c2 = (p + q)2                    (II)

    Addieren wir (I) und (II), erhalten wir a2 = p·c:

    2a2 = (p + q) · (p - q) + (p + q)2 = (p + q) · [(p - q) + (p + q)] = 2·p·c

    also gilt:                                                      a2 = p·c

    Subtrahieren wir (I) von (II), erhalten wir b2 = q·c:

    2b2 = (p + q)2 - (p + q) · (p - q) = (p + q) · [(p + q) - (p - q)] = 2·q·c

    also gilt:                                                      b2 = q·c

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