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    Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

    Vom Höhensatz zum Satz des Pythagoras

    Beweisidee:

    Aus einem gegebenen rechtwinkligem Dreieck ABC wird mit Hilfe des Thaleskreises ein Dreieck PQB konstruiert, in welchem [BC] die Rolle einer Höhe spielt. Anschließend wird der Höhensatz angewandt, woraus wir den Satz des Pythagoras erhalten.

    P und Q sind diejenigen Punkte auf der Geraden AC, für welche gilt: PA = QA = AB = c.

    Wegen des Satzes des Thales ist das Dreieck PQB demnach rechtwinklig mit [PQ] als Hypotenuse. Nach Konstruktion sind [PC] und [QC] die Hypotenusenabschnitte, während [BC] sich als Höhe von Dreieck PQB erweist. Die Anwendung des Höhensatzes auf   das Dreieck PQB ergibt:

    BC2 = PC·QC

    also:                         a2 = (c-b)·(c+b)

    d. h. a2 = c2 - b2, was sofort zu c2 = a2 + b2 umgeformt werden kann.

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