Vom Höhensatz zum Kathetensatz

Beweisidee:

Zu einem gegebenen rechtwinkligem Dreieck konstruieren wir mit Hilfe des Thaleskreises ein zweites rechtwinkliges Dreieck. Durch die anschließende Anwendung des Höhensatzes auf beide Dreiecke erhalten wir den Kathetensatz.

Gegeben sei das rechtwinklige Dreieck ABC mit [AB] als Hypotenuse und D als Höhenfußpunkt auf [AB]. Wir zeichnen einen Thaleskreis mit [AC] als Radius und erhalten das rechtwinklige Dreieck EFC mit [EF] als Hypotenuse, wobei D auch für dieses Dreieck Höhenfußpunkt ist. Wir wenden nun den Höhensatz sowohl auf Dreieck EFC als auch auf Dreieck ABC an und erhalten:

h^² = ED·DF = (b+q)·(b-q) = b^²-q^² sowie h^² = p·q

Gleichsetzung ergibt: b^² =c·q

	Einleitung
Sätze	Satz des Pythagoras						Höhensatz		Kathetensatz
Beweise	Arithmeti- scher Beweis	Zerle- gungs- beweis	Ergänzungs- beweis		Ähnlich- keits- beweis	Sche- rungs- beweis	Beweis des Höhensatzes		Beweis des Kathetensatzes
Zusammen- hänge	Vom Satz des Pythagoras zum Kathetensatz			Vom Satz des Pythagoras zum Höhensatz			Vom Höhensatz zum Kathetensatz	Vom Höhensatz zum Satz des Pythagoras	Vom Kathetensatz zum Höhensatz	Vom Kathetensatz zum Satz des Pythagoras
Umkehrungen	Umkehrung Satz des Pythagoras						Umkehrung Höhensatz		Umkehrung Kathetensatz
Prinzipien	Spezialisierung		Verallgemeinerung		Analogie