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    Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

    Vom Satz des Pythagoras zum Höhensatz

    Beweisidee:

    Wir wenden den Satz des Pythagoras am rechtwinkligen Dreieck ABC und an dessen rechtwinkligen Teildreiecken an und gelangen durch Addition entsprechender Gleichungen zum Höhensatz.

    Da die Teildreiecke ADC und BDC rechtwinklig sind, können wir auf diese den Satz des Pythagoras anwenden und erhalten:

    b2 = q2 + h2    (*)

    a2 = p2 + h2    (**)

    Addition von (*) und (**) liefert:

    a2 + b2 = p2 + q2 + 2h2     (I)

    Ferner gilt:

    a2 + b2 =  c2 = (p + q)2    (II)

    Setzen wir I und II gleich, erhalten wir den Höhensatz:

    p2 + q2 + 2h2 = (p + q)2

    p2 + q2 + 2h2 = p2 +  q2 + 2·p·q

    h2 = p·q

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