Unkehrung des Kathetensatzes

Die Umkehrung des Kathetensatzes lautet:

Wenn für ein Dreieck ABC mit dem Höhenfußpunkt D auf [AB] die Beziehung |AC|^² = |AB|·|AD| (oder die Beziehung |BC|^² = |AB|·|BD|) gilt, dann ist Dreieck ABC rechtwinklig mit [AB] als Hypotenuse.

Beweisidee:

Wir betrachten ein beliebiges Dreieck auf das der Kathetensatz zutrifft und erarbeiten Beziehungen zwischen dem ursprünglichen Dreieck und einem rechtwinkligen Teildreieck. Wir stellen fest, dass das rechtwinklige Teildreieck ähnlich zu dem ursprünglichen Dreieck ist und dieses somit auch rechtwinklig sein muß.

Die Figur zeigt ein beliebiges Dreieck ABC mit dem Höhenfußpunkt D auf [AB]. Gilt nun die Beziehung |AC|^²=|AB|·|AD|, so erhalten wir hieraus das Verhältnis:

(1) |AB|:|AC| = |AC|:|AD|

Außerdem gilt:

(2) Winkel BAC = Winkel DAC

Wegen (1) und (2) ist Dreieck ABC ähnlich zum Teildreieck ACD. Da Winkel ADC = 90° muß auch Winkel ACB = 90° gelten, d. h.

Dreieck ABC ist rechtwinklig mit [AB] als Hypotenuse

Entsprechend wird der Beweis bei Voraussetzung von |BC|^²=|AB|·|BD| geführt.

	Einleitung
Sätze	Satz des Pythagoras						Höhensatz		Kathetensatz
Beweise	Arithmeti- scher Beweis	Zerle- gungs- beweis	Ergänzungs- beweis		Ähnlich- keits- beweis	Sche- rungs- beweis	Beweis des Höhensatzes		Beweis des Kathetensatzes
Zusammen- hänge	Vom Satz des Pythagoras zum Kathetensatz			Vom Satz des Pythagoras zum Höhensatz			Vom Höhensatz zum Kathetensatz	Vom Höhensatz zum Satz des Pythagoras	Vom Kathetensatz zum Höhensatz	Vom Kathetensatz zum Satz des Pythagoras
Umkehrungen	Umkehrung Satz des Pythagoras						Umkehrung Höhensatz		Umkehrung Kathetensatz
Prinzipien	Spezialisierung		Verallgemeinerung		Analogie