Umkehrung des Höhensatzes

Die Umkehrung des Höhensatzes lautet:

Wenn für ein Dreieck ABC mit dem Höhenfußpunkt D auf [AB] die Beziehung CD^²=AD·BD gilt, dann ist das Dreieck ABC rechtwinklig mit [AB] als Hypotenuse.

Beweisidee:

Wir betrachten die beiden Teildreiecke des Dreiecks ABC und stellen fest, dass sie ähnlich zueinander sind. Aufgrund ihrer Winkelverhältnisse erkennen wir dann, dass sich bei C ein Winkel von 90° befindet.

Aus CD^² = AD·BD folgt das Verhältnis:

(1) AD:CD = CD:BD

Außerdem gilt:

(2) Winkel CDA = Winkel BDC = 90°

Wegen (1) und (2) sind die Teildreiecke ADC und CDB zueinander ähnlich. Also gilt:

Winkel alpha = Winkel DAC = Winkel DCB

Winkel beta = Winkel CBD = Winkel ACD

Wegen der Winkelsumme von 180° in den Teildreiecken folgt daher alpha + beta = 90°, weshalb Dreieck ABC bei C ebenfalls einen 90°- Winkel besitzt. Deshalb ist

Dreieck ABC rechtwinklig mit [AB] als Hypotenuse.

	Einleitung
Sätze	Satz des Pythagoras						Höhensatz		Kathetensatz
Beweise	Arithmeti- scher Beweis	Zerle- gungs- beweis	Ergänzungs- beweis		Ähnlich- keits- beweis	Sche- rungs- beweis	Beweis des Höhensatzes		Beweis des Kathetensatzes
Zusammen- hänge	Vom Satz des Pythagoras zum Kathetensatz			Vom Satz des Pythagoras zum Höhensatz			Vom Höhensatz zum Kathetensatz	Vom Höhensatz zum Satz des Pythagoras	Vom Kathetensatz zum Höhensatz	Vom Kathetensatz zum Satz des Pythagoras
Umkehrungen	Umkehrung Satz des Pythagoras						Umkehrung Höhensatz		Umkehrung Kathetensatz
Prinzipien	Spezialisierung		Verallgemeinerung		Analogie