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    Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

    Umkehrung des Höhensatzes

    Die Umkehrung des Höhensatzes lautet:

    Wenn für ein Dreieck ABC mit dem Höhenfußpunkt D auf [AB] die Beziehung CD2=AD·BD gilt, dann ist das Dreieck ABC rechtwinklig mit [AB] als Hypotenuse.

    Beweisidee:

    Wir betrachten die beiden Teildreiecke des Dreiecks ABC und stellen fest, dass sie ähnlich zueinander sind. Aufgrund ihrer Winkelverhältnisse erkennen wir dann, dass sich bei C ein Winkel von 90° befindet.

    Aus CD2 = AD·BD folgt das Verhältnis:

    (1)  AD:CD = CD:BD

    Außerdem gilt:

    (2)  Winkel CDA = Winkel BDC = 90°

    Wegen (1) und (2) sind die Teildreiecke ADC und CDB zueinander ähnlich. Also gilt:

    Winkel alpha = Winkel DAC = Winkel DCB

    Winkel beta = Winkel CBD = Winkel ACD

    Wegen der Winkelsumme von 180° in den Teildreiecken folgt daher alpha + beta = 90°, weshalb Dreieck ABC bei C ebenfalls einen 90°- Winkel besitzt. Deshalb ist

    Dreieck ABC rechtwinklig mit [AB] als Hypotenuse.

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